APLICACIONES INTEGRALES

ISAAC NEWTON

BIOGRAFÍA

Isaac Newton nació el día de Navidad del antiguo calendario en 1642 (correspondiente al 4 de Enero de 1643 del nuevo calendario), en Woolsthorpe (Inglaterra), era hijo póstumo de un terrateniente analfabeto.

Nacido prematuramente, no se tenia esperanza de que sobreviviese. Isaac fue educado por su abuela. Su madre, mujer ahorrativa y diligente, se casó de nuevo cuando su hijo tenía más de tres años. Newton frecuentó la escuela y, siendo niño, manifestó un comportamiento normal, con un interés marcado por los juguetes mecánicos, construía relojes mecánicos y de sol.

El reverendo William Ayscough, tío de Newton, convenció a su madre de que lo enviara a Cambridge.

En junio de 1661, a los dieciocho años, era alumno del Trinity College que tenía fama de ser una institución recomendable para aquellos que se destinaban a las órdenes, la cual le brindó hospitalidad, libertad y una atmósfera amistosa que le permitieron tomar contacto verdadero con el campo de la ciencia.

Al comienzo de su estancia en Cambrigdge, se interesó por la química. Durante su primer año de estudios llenó con libros su vida solitaria y leyó una obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides.

En 1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la Geometría a Renato Des Cartes de Van Schooten, la Optica de

Kepler, la Opera mathematicae de Vieta y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, teorema del binomio, ciertas cuadraturas.

A partir de 1663 Newton conoció a Barrow, su primer profesor lucasiana de matemáticas.

Desde finales de 1664, Newton parece dispuesto a contribuir al desarrollo de las matemáticas. Al acabar bachiller tuvo que volver a la granja familiar por la epidemia de la peste bubónica, allí tuvo mucho tiempo para pensar. Durante los años 1665-1666 descubre la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación, desarrolló su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores,

pero Newton los guardaba en silencio y reanudó sus estudios en Cambridge en 1667.

De 1667 a 1669, emprende investigaciones sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College.

En 1669, Newton sucede a Barrow en la cátedra lucasiana de matemáticas hasta 1696. El mismo año envía a Collins, su Analysis per aequeationes numero terminorum infinitos. En 1672 publicó una obra sobre la luz con una exposición de su filosofía de las ciencias, fue criticado por Robert Hooke (1638-1703) y Huygens, entre otros, quienes sostenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Newton mantuvo su palabra hasta 1687, año

de la publicación de sus Principia, salvo quizá otra obra sobre la luz que apareció en 1675.

Desde 1673 hasta1683, Newton enseñó álgebra y teoría de ecuaciones. Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y le estimulaban en sus trabajos.

En 1679, verificó su ley de la gravitación universal, una explicación única y general de cómo la fuerza de la gravitación causa el movimiento de la Luna y los planetas.

Newton descubrió los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante el decenio siguiente elaboró tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Desde 1684, Halley le incita a publicar sus trabajos de mecánica, y gracias al sostén moral y económico de este último y de la Royal Society, publica en 1687 sus célebres Philosophiae naturalis principia mathematíca.

En 1687, Newton defendió los derechos de la Universidad de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II, como resultado de la eficacia que demostró, fue elegido miembro del Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y obligado a exiliarse. Durante este tiempo prosiguió sus trabajos de química y se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir telescopios.

Después de haber sido profesor, Newton abandonó su puesto para aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696. Los últimos treinta años de su vida, se consagró a los estudios religiosos.

Fue elegido presidente de la Royal Society en 1703 y reelegido cada año hasta su muerte.

En 1705 fue hecho caballero por la reina Ana, como recompensa a los servicios prestados a Inglaterra.Los últimos años de su vida se vieron ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de la invención del nuevo análisis, que se terminó con la muerte de Leibniz en 1716, pero cuyas malhadadas secuelas se harán sentir hasta fines del siglo XVIII.

Después de una larga y atroz enfermedad, Newton murió durante la noche del 20 de marzo de 1727, y fue enterrado en la abadía de Westminster en medio de los grandes hombres de Inglaterra.

TEOREMA DE BINOMIOS

Regla para escribir el desarrollo de (a + b)ⁿ sin realizar todas las multiplicaciones necesarias, en donde a y b son cualesquiera números reales y n es un entero.

Cuando se eleva un binomio a potencias de números enteros, los coeficientes de los términos forman un patrón interesante. Un examen cuidadoso revela que las expresiones anteriores muestran las siguientes características:

Cada fila (o desarrollo) comienza y termina con 1.
Cada fila es un miembro más largo que la fila anterior.
Cada fila tiene un término más que la potencia del binomio.
La suma de los exponentes en cada término en cada fila es igual a la potencia del binomio.
Los coeficientes forman un patrón simétrico con respecto a su centro; cada fila par (la primera fila es la fila número 0) tiene un único número central en tanto que cada fila non tiene dos números idénticos en el centro.
Cada coeficiente es igual a la suma de los dos números justo arriba de él.
La suma de los coeficientes en cada fila es igual a 2ⁿ, en donde n es el número de filas (asigna 1 a ambos, a y b, y verás por qué).

EL DE ANALYSI

Compuesto en 1669 a partir de conceptos elaborados en 1665-1666, el De analysi no fue publicado hasta 1711, aunque era conocido entre los próximos a Newton porque circulaba en forma manuscrita desde 1669.
Al comienzo de sus investigaciones sobre las propiedades de las líneas curvas, Newton se apoya principalmente en el método de las tangentes de Descartes, aunque también recurre a la regla de Hudde para la determinación de los extremos. Newton se dispone desde el principio a elaborar algoritmos que le permitan simplificar la resolución de los problemas de tangentes, cuadratura y rectificación de curvas. El De analysi contiene los fundamentos de su método de las series infinitas que se manipulan mediante operaciones de división y extracción de raíces. Toma también de la física ciertos conceptos que se revelan útiles para sus métodos infinitesimales y para traducir su concepción cinemática de las curvas. En 1666 todavía no ha desarrollado completamente su notación de las fluxiones, pero en 1669, en el momento de la redacción de su De analysi, utiliza todavía la notación más o menos convencional y reserva para una ulterior publicación sus fluxiones como concepto operacional a nivel algorítmico.
Utiliza la relación de reciprocidad entre la diferenciación y la integración y aplica su método para obtener el área comprendida bajo diversas curvas y para resolver numerosos problemas que requieren sumaciones. Enuncia y utiliza también la regla moderna: la integral indefinida de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una de las funciones.
Se sirve también de las series infinitas para integrar curvas utilizando la regla de integración término a término.
Añadamos que, con motivo de ciertas observaciones a propósito de la utilización de las series infinitas, Newton parece estar preocupado por el concepto de convergencia, pero no aporta ninguna solución a este
problema.

Descubrimiento de las series de sen x y cos x

A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con la figura

s x=AQ=sen q, esto es, q= arcsenx, de manera que q = 2 ·área(OQR)=2 ·[área(ORQB)-área(OQB)] =

Por el desarrollo del binomio

de donde integrando término a término

mientras que

sustituyendo y después de simplificar queda

q = x+

x³+

x⁵+

___

112

x⁷+

Inviertiendo ahora la serie Newton obtiene

x=senq = q-

q³+

___

120

q⁵-

____

5040

q⁷+

Encuentra luego la serie de cosq como

Y calcula las cuadraturas de la cicloide y luego de la cuadratriz, de ecuación x=y coty primero invirtiendo esta ecuación para encontrar la serie de y=y(x) y luego integrando término a término.

EL MÉTODO DE LAS FLUXIONES

Se franquea una segunda etapa en el momento en que Newton acaba, en 1671, su obra Methodus fluxionum et serierum infiniturum, comenzada en 1664. Newton tenía intención de publicarla, en particular en su Opticks, pero a causa de las críticas formuladas anteriormente con respecto a sus principios sobre la naturaleza de la luz, decidió no hacerlo. De hecho, será publicada en 1736 en edición inglesa, y no será publicada en versión original hasta 1742. Newton expone en este libro su segunda concepción del análisis introduciendo en sus métodos infinitesimales el concepto de fluxión.
En su prefacio, Newton comenta la decisión de Mercator de aplicar al álgebra la «doctrina de las fracciones decimales», porque, dice, «esta aplicación abre el camino para llegar a descubrimientos más importantes y más difíciles». Después habla del papel de las sucesiones infinitas en el nuevo análisis y de las operaciones que se pueden efectuar con esas sucesiones.
La primera parte de la obra se refiere justamente a la reducción de «términos complicados» mediante división y extracción de raíces con el fin de obtener sucesiones infinitas.
Newton introduce su nueva concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la inversa del primero.
Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas (parábola, concoide de Nicomedes, espirales, cuadratrices), el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud.
Newton incluye también en esta obra tablas de curvas clasificadas según diez órdenes y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada para cada una de las formas y el área de cada una de ellas (tabla de integrales). También incluye nuevas clases de ordenadas, una fórmula de aproximación para la solución de las ecuaciones que llevan su nombre, y el paralelogramo de Newton, útil para el desarrollo de series infinitas y para el trazado de curvas.
Cuando Newton aborda el problema de «trazar las tangentes de las curvas», expone nueve maneras diferentes de hacerlo, teniendo en cuenta las «diferentes relaciones de las curvas con las líneas rectas». En la tercera manera, recurre a las «coordenadas bipolares», poco utilizadas actualmente. Pero en la exposición de la séptima manera encontramos por primera vez la utilización de las coordenadas polares.
Newton expone en el artículo XX de su Método un procedimiento para la determinación aproximada de las raíces de una ecuación. Lo presenta como un método para efectuar «la reducción de las ecuaciones afectadas», para reducirlas a sucesión infinita.
Este método fue modificado ligeramente por Joseph Raphson en 1690, y después por Thomas Simpson en 1740, para dar la forma actual.

EL DE QUADRATURA CURVARUM

La tercera concepción de Newton a propósito del nuevo análisis aparece en su De quadratura curvarum, escrita en 1676 pero no publicada hasta 1704, como apéndice a su Opticks. Newton se propone esta vez fundamentar su cálculo sobre bases geométricas sólidas, por lo que hace hincapié en la concepción cinemática de las curvas.
Más adelante, Newton describe la distinción entre el uso de elementos discontinuos y las nuevas consideraciones cinemáticas con referencia a las fluxiones, abandonando así las cantidades infinitamente pequeñas en beneficio de una ampliación del concepto de fluxión que requiere la comparación de velocidades instantáneas en la razón última de los pequeños crecimientos.
La tercera concepción de Newton se presenta en forma operacional mediante el método de las «primeras y últimas razones».
Sin embargo, el mismo Newton es consciente de las precauciones que hay que tomar para aplicar su método de las «primeras Y últimas razones» a la determinación de la fluxión, porque añade en su introducción:
"Los menores errores en matemáticas no deben ser despreciados."
Newton precisa sus concepciones, sin introducir sus notaciones, al comienzo de los Principia en lo que llama método de «las primeras y últimas razones».

En De quadratura curvarum (1704) describe un método directo para calcular las fluxiones: ejemplo

Cuando la función fluyendo se convierta en , la función se convierte en , esto es por el método de series infinitas

$begin{displaymath} x^n+n h x^{n-1}+frac{n(n-1}2 hh x^{n-2}+cdots+mathrm{etc.} end{displaymath}$

Y el incremento (de ) y

$begin{displaymath} n h x^{n-1}+frac{n(n-1}2 hh x^{n-2}+cdots+mathrm{etc.} end{displaymath}$

(de ) es uno a otro como 1 a

$begin{displaymath} n x^{n-1}+frac{n(n-1}2 h x^{n-2}+cdots+mathrm{etc.} end{displaymath}$

Ahora dejemos que estos incrementos () se desvanezcan y su última razón será como 1 a $n x^{n-1}$ .

LOS PRINCIPIA

La primera información publicada acerca de su cálculo diferencial e integral aparece indirectamente en sus famosos Philosophiae naturalis principia mathematica, de 1687. Aunque en esta obra predomina la forma sintética y, por otra parte, Newton utiliza métodos geométricos en sus demostraciones, se encuentran sin embargo algunos pasajes analíticos, en particular la sección primera del libro I, titulada: «El método de las primeras y últimas razones».
Entre los numerosos pasajes que explican su método de «las primeras y últimas razones», el que sigue, que proviene de un escolio que acompaña al lema XI en la segunda edición traducida por Andrew Motte, parece ser el más claro:
"Las razones últimas en las que las cantidades desaparecen no son realmente las razones de cantidades últimas, sino los límites hacia los cuales se aproximan constantemente las razones de cantidades, que decrecen sin límite, y hacia los cuales pueden aproximarse tanto como cualquier diferencia dada, pero sin sobrepasarlos o alcanzarlos antes de que las cantidades disminuyan indefinidamente."
Es interesante observar la explicación de Newton relativa a sus razones últimas, porque nos permite ver mejor la semejanza entre su última concepción y nuestra derivada actual. En particular, la idea intuitiva de esta razón última se encuentra en el problema de las tangentes. Newton considera una tangente como la posición límite de una secante.
Newton introduce la noción de «diferencial», designada por la palabra «momento», el cual es producido por una cantidad variable llamada «genita». Este constituye una aproximación al concepto de función, y se presenta en el libro II, sección 11 de los Principia. Parece que estas cantidades llamadas «genita» son variables e indeterminadas, y que aumentan o decrecen mediante un movimiento continuo, mientras que sus momentos son crecimientos temporales que pueden generar partículas finitas. En aritmética, las «genita» son generadas o producidas por la multiplicación, la división o la extracción de raíces de cualquier término, mientras que la búsqueda del contenido de los lados o de los extremos y medias proporcionales constituye «genita». Así, las «genita» pueden ser productos, cocientes, raíces, rectángulos, cuadrados, cubos, etc. Sin embargo, Newton no llega a esclarecer el concepto de momento lo suficiente como para que se pueda hablar aquí de una concepción neta de la diferencial de una función.
En el prefacio de sus Principia, Newton ofrece la definición de conceptos de mecánica tales como inercia, momento y fuerza, y después enuncia las tres célebres leyes del movimiento que son generalizaciones de las concepciones de Galileo sobre el movimiento.
A continuación, Newton asocia las leyes astronómicas de Kepler y la ley centrípeta de Huygens en el movimiento circular para establecer el principio de su célebre ley de la gravitación universal.
Este libro I, titulado: El movimiento de los cuerpos, trata abundantemente de mecánica y comprende también un estudio y una descripción orgánica de las cónicas.
El libro II está consagrado al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia como el aire y los líquidos. Es la verdadera introducción a la ciencia del movimiento de los fluidos. Se puede encontrar en él, entre otras cosas, un estudio de la forma de los cuerpos para ofrecer menos resistencia, una sección sobre la teoría de las ondas, una fórmula para la velocidad del sonido en el aire y un estudio de las ondas en el agua.
El libro III, titulado Sobre el sistema del mundo, contiene las aplicaciones al sistema solar de la teoría general desarrollada en el libro I. Newton demostró cómo calcular la masa del Sol en términos de la masa de la Tierra y de los otros planetas que tienen un satélite. Calculó la masa volúmica media de la Tierra y demostró que tenía la forma de un esferoide aplanado, y que, por consiguiente, la atracción no era constante en su superficie. Hizo también un estudio de la precesión de los equinoccios y de las mareas, explicó que la Luna constituía la causa principal de este fenómeno y que el Sol también ejercía en él una influencia. Dedicó también un estudio detallado al movimiento de la Luna, porque debía servir para mejorar la determinación de las longitudes.
Newton realizó también contribuciones a otros temas matemáticos, entre los que podemos mencionar una clasificación de las curvas de tercer grado y trabajos sobre la teoría de las ecuaciones.
En un pequeño tratado, publicado como apéndice a su Opticks en 1704 y titulado Enumeratio linearum tertii ordinis, Newton, que compuso esta obra en 1676, divide las cúbicas en catorce genera que comprenden setenta y dos especies, de las que faltan seis. Para cada una de estas especies, traza cuidadosamente un diagrama y el conjunto de estos diagramas presenta todas las formas posibles (salvo las que son degeneradas) de las curvas de tercer grado. Subrayemos el uso sistemático de dos ejes y el empleo de coordenadas negativas.
En una obra publicada por primera vez en 1707, y de la que aparecen muchas ediciones en el siglo XVIII, Newton expone su visión de la teoría de las ecuaciones. Evidentemente nos referimos a su Aritmetica universalis, compuesta al parecer entre 1673 y 1683 a partir de los cursos que impartió en Cambridge. Entre las contribuciones importantes de esta obra, mencionemos las «identidades de Newton» para la suma de las potencias de las raíces de una ecuación polinómica, un teorema que generaliza la regla de los signos de Descartes para la determinación del número de raíces imaginarias de un polinomio, un teorema sobre la cota superior de las raíces de una ecuación polinómica, y el descubrimiento de la relación entre las raíces y el discriminante de una ecuación. Señalemos que las cuestiones geométricas ocupan una parte importante en esta obra, porque Newton parece pensar que es muy útil construir geométricamente la ecuación con el fin de estimar más fácilmente las raíces buscadas.